Του Κωνσταντίνου Καραθεοδωρή
[Η ομιλία έγινε στην Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία στις 19 Μαΐου 1924. Έχει διατηρηθεί η πρωτότυπη ορθογραφία απλοποιώντας σε μονοτονικό.]
ΠΕΡΙ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΝ ΤΗ ΜΕΣΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΕΙ
Θ’ αρχίσω την ομιλίαν μου ταύτην με το ερώτημα: «διατί διδάσκονται τα Μαθηματικά εις τα σχολεία μας;» Λέγων τα «Μαθηματικά» δεν εννοώ τα στοιχεία της αριθμητικής, τα οποία είναι βεβαίως απαραίτητα εις κάθε άνθρωπον ανήκοντα εις οσονδήποτε ολίγον πεπολιτισμένον περιβάλλον, αλλά την Γεωμετρίαν και την Ανάλυσιν. Επισκοπών τις την Ιστορίαν των πολιτισμών συναντά λαούς ικανά προηγμένους, οίτινες, ως οι Ατζέκαι π.χ. , ει και όλως άμοιροι μαθηματικών γνώσεων, εδημιούργησαν κραταιάς πολιτείας και σημαντικήν τέχνην. Ούτως ενισχύεται η ιδέα ότι τα Μαθηματικά δεν είναι οσον φανταζόμεθα απαραίτητα δια την ανάπτυξιν μιας πεπολιστισμένης κοινωνίας. Προκειμένου λοιπόν περί της εν τη μέση Εκπαιδεύσει διδασκαλίας θα ηδυνάμεθα να φαντασθώμεν τύπον σχολείου απηλλαγμένου της διδασκαλίας των Μαθηματικών, μαθήματος αντικαθιστάμενου δι άλλου αναφερόμενου εις άλλον κλάδο της ανθρώπινης γνώσεως, ως π.χ. εις την Βιολογίαν, θεωρουμένην εν τη κυρία αυτής σημασία ως Επιστήμην της ζωής. Κατά την εμήν πεποίθησην ο κύριος λόγος δια τον οποίον τα Μαθηματικά, ομού μετά της διδασκαλίας του ορθού χειρισμού της μητρικής γλώσσης, αποτελούν το κέντρον βάρους της εν τη μέση Εκπαιδεύσει διδασκαλίας εις όλους τους σύγχρονους λαούς της Ευρώπης και της Αμερικής, είναι απλούστατα η παράδοσις και η συνήθεια. Διότι, ως αποδεικνύει η πείρα, τίποτε εν τη διαπλάσει της ανθρώπινης κοινωνίας δεν είναι ως εκ της φύσεως αυτού συντηρητικώτερον του σχολείου. Εχρειάσθη π.χ. ολόκληρος ο κλονισμός τον οποίον επέφερεν εις την ψυχικήν διάθεσιν και την νοοτροπίαν των ανθρώπων μία Γαλλική Επανάστασις, όπως δυνηθή να σχηματισθή νέος τύπος σχολείου ως η πρώτη «Ecole Centrale» βραδύτερον μετονομασθείσα «Ecole Polytechnique» ή «Ecole des Ponts et Chausses», και όσαι άλλαι ιδρύθησαν κατά την εποχήν εκείνην υπό την επίδρασιν του Monge, μάλλον προωρισμέναι δια την παρασκευήν ανθρώπων των εφηρμοσμένων επιστημών. Τα προγράμματα όλων των απανταχού αναλόγου φύσεως σχολείων φέρουν έτι σήμερον την σφραγίδα των εκπαιδευτικών τούτων ιδρυμάτων. Επίσης δυνάμεθα, χωρίς ίσως να υπάρξη κίνδυνος διαψεύσεως υπό μέλλοντος ιστορικού, να ισχυρισθώμεν ότι τα Ευρωπαϊκά σχολεία της μέσης Εκπαιδεύσεως ανάγονται αφ’ ενός δια των σχολείων της Αναγεννήσεως εν Ιταλία, άτινα υπέστησαν την επίδρασιν των εκ Κωνσταντινουπόλεως Ελλήνων διδασκάλων αυτών, αφ’ ετέρου δε δια των σχολείων του Βυζαντίου εις τα σχολεία της Αλεξανδρινής εποχής, των οποίων δύναται να θεωρηθώσιν απόγονοι· είναι δε φυσικόν ότι εις τα τευλευταία ταύτα τα Μαθηματικά θα κατείχον πρωτεύουσαν θέσιν, αφού η Γεωμετρία παρά τοις Έλλησιν εθεωρείτο, και δικαίως, ως η μόνη τότε τέλεια επιστήμη· άλλως τε και το όνομα αυτό τούτο μαρτυρεί ότι τα Μαθηματικά απετελούν την κύριαν μάθησιν και ως εκ τούτου κύριον μάθημα.
Τεκμήριον της, ως ειρήται, μεγάλης συντηρητικότητος των σχολείων είναι και το επί αιώνας αμετάβλητον των προγραμμάτων της διδακτέας ύλης, παρατηρούμενον παντού, ιδία δε εν Αγγλία, όπου η Γεωμετρία διαδάσκεται απ’ ευθείας από το κείμενον του Ευκλείδου.
Κατά την τελευταίαν εικοσετίαν παρετηρήθησαν, ιδία εν Γερμανία και Γαλλία, τάσεις νεωτεριστικαί, τας οποίας υπεστήριξαν και διάσημοι μαθηματικοί.
Δια της κινήσεως ταύτης, ήτις εν μέρει είναι υγιής, απεσκοπείτο η εισαγωγή κατά την διδασκαλίαν νεωτέρων εννοιών, αίτινες καταστάσαι από μακρού κοινόν κτήμα κατήντησαν σήμερον σχεδόν ειπείν κοινοτοπίαι. Τοιαύτη είναι π.χ. η έννοια της συναρτήσεως, την οποίαν απαντά τις καθημερινώς εις την συνήθην ζωήν. Μάλλον επικίνδυνον θεωρώ την τάσιν εις τας τελευταίας τάξεις των Πρακτικών Λυκείων συστηματικής εισαγωγής του Απειροστικού Λογισμού δια το αδύνατον, ως εκ της ελλείψεως χρόνου και του κάπως αώρου της ηλικίας των μαθητών, της καρποφόρου αναπτύξεως της Επιστήμης ταύτης.
Ο σκοπός της εν τοις σχολείοις παιδεύσεως δεν είναι η Παρασκευή μελλόντων μαθηματικών· και αυτή ακόμη η αναλογία των μαθητών εκείνων, οίτινες θα χρησιμοποιήσουν βραδύτερον τας εις τα Μαθηματικά γνώσεις των, είναι λίαν μικρά, αν εξαιρέση τις τα Πρακτικά Λύκεια, όπου η αναλογία είναι οπωσδήποτε μεγαλυτέρα. Τουναντίον ο σκοπός ούτως είναι κυρίως μορφωτικός, αποβλέπων άμα εις την παροχήν εφοδίων τινών δια τον πρακτικόν βίον.
Τοιαύται είναι εν γενικαίς γραμμαίς αι ιδέαι, τας οποίας θα ενόμιζαν ωφέλιμον να έχη τις προ οφθαλμόν, προκειμένου να σκεφθή περί των προγραμμάτων της εν τοις σχολείοις της μέσης Εκπαιδεύσεως διδακτέας ύλης η περί του πνεύματος της διδασκαλίας προς το κατά το δυνατόν καλυτέραν κατάρτισιν του μαθητού. Προς τούτοις ανάγκη είναι να ενθυμήται τις ότι, η διδασκαλία εν τη εφαρμογή αυτής υφίσταται αναγκαστικώς την επίδρασιν του περιβάλλοντος και εις χώραν ακόμη, ως π.χ. η Ελλάς, όχι πολύ εκτεταμένην, αι συνθήκαι, υφ’ ας τελείται η διδασκαλία, δεν είναι παντού αι αυταί και θα ήτο επιβλαβές, αν παρ’ όλον το ενιαίον των προγραμμάτων, ηθέλομεν παρέχει παντού την αυτήν στερεότυπον μορφήν διδασκαλίας. Είναι προφανές π.χ. δια να λάβωμεν εν συγκεκριμένον παράδειγμα ότι το μαθητικόν υλικόν μιας μεγαλουπόλεως, οίαι αι Αθήναι, διαφέρει από απόψεως παραστάσεων και εντυπόσεων εις τόσα σημεία από το μαθητικόν υλικόν της μιάς ή της άλλης Επαρχίας, ώστε εν τη διδασκαλία ουχί μαθήματος οίον η Γεωγραφία, αλλά εν αυτή τη διδασκαλία μαθήματος τόσο παγίου την μορφήν ως η Γεωμετρία δεν είναι δυνατόν να ληφθούν υπόψη αι τοπικαί διαφοραί.
Συγκεκριμένως εν Ελλάδι, όπως αποβαίνη μάλλον καρποφόρος η διδασκαλία, παρίσταται φρονώ ανάγκη να συνδέηται αυτή προς την πρακτικήν ζωήν δι’ εφαρμογών κατά το δυνατόν προσαρμοζόμενων προς το περιβάλλον εν τω οποίω αύτη τελείται.
Μια τοιαύτη κατεύθυνσις της διδασκαλίας είναι το μόνον μέσον όπως ο μαθητής, αντί ν’ αποκτά απλώς θεωρητικάς γνώσεις, των οποίων δεν είναι εις θέσιν πάντοτε να σταθμίζη την σημασίαν, καθίσταται ικανός να συσχετίζη τας μαθηματικάς του γνώσεις προς τα φαινόμενα του εξωτερικού κόσμου και της πρακτικής ζωής. Διότι δεν πρέπει να παραβλέπωμεν ότι η εικών του αντικειμενικού κόσμου, την οποίαν σχηματίζομεν σήμερον οι επιστήμονες, βασίζεται προ παντός επί της πίστεως την οποίαν τρέφομεν, τουλάχιστον σήμερον, ότι μαθηματικοί νόμοι διέπουν τα φαινόμενα του έξω κόσμου.
Το πώς θα ηδύνατο τις να ποικίλη την διδασκαλίαν του συμφώνως προς το άνω πνεύμα δεικνύουσι μεταξύ πολλών άλλων τα ακόλουθα παραδείγματα.
1ον). Παντός είδους γραφικαί παραστάσεις, ως η γραφική παράστασις της πορείας αμαξοστοιχιών μιας γραμμής, ήτις συντελλούσα εις εμπέδωσιν της έννοιας της συναρτήσεως δίδει συνάμα αφορμήν και εις πολλάς εφαρμογάς εννοιών εκ της Μηχανικής. Επίσης γραφικαί παραστάσεις της πορείας της θερμοκρασίας ή της ατμοσφαιρικής πιέσεως ή άλλων μετεωρολογικών ποσοτήτων. Επίσης γραφική παράστασις αξιών του χρηματιστηρίου κ.λ.π.
2ον). Εξοικείωσις του μαθητού με την τρίτην διάστασιν δια των υπ’ αυτού ακριβώς εκτελουμένων γεωμετρικών σχεδίων και προπλασμάτων διαφόρων στερεών. Είναι απλουστάτη πχ. η κατασκευή κανονικού εικοσαέδρου εξ απλού χάρτου, πολύ ευκολωτέρα και αυτής της κατασκευής του κύβου. Επίσης δύναται ο μαθητής, χωρίς να θεωρήται τούτο άσκησις εις την παραστατικήν Γεωμετρίαν, να εξασκήται εις την προβολήν διαφόρων απλών στερεών, ως επί παδαδείγματι της κατόψεως κύβου με κατακόρυφον διαγώνιον.
3ον). Να γίνουν εφαρμογαί πολλαί της γεωμετρικής ομοιότητος, ως, π.χ., η ακόλουθος. Αν εκ δεδομένης ποσότητος ύλης σχηματίσομεν ίσας σφαίρες να δειχθή ότι η ολική επιφάνεια αυξάνει μετά του . Εφαρμογήν τούτου εις τον καθημερινόν βίον έχομεν παρατηρούντες ότι κονιορτοποιημένη ζάχαρις διαλύεται ταχύτερον ή η αυτή ποσότης στερεάς τοιαύτης.
Εκτός των εφαρμογών λίαν σκόπιμον νομίζομεν να επιμένη τις ιδιαιτέρως κατά το θεωρητικόν μέρος της διδασκαλίας του εις γεγονότα φέροντα γενικόν τινα χαρακτήρα και συμβάλλοντα εις την κατά το δυνατόν δημιουργίαν κάπως ευρυτέρας αντιλήψεως των πραγμάτων παρά των μαθητών. Λ.χ. πάντοτε πρέπει απ’ αυτού του Ελληνικού σχολείου όπου διδάσκεται το μετρικόν σύστημα όλως ιδιαιτέρως να εφίσταται η προσοχή του μαθητού επί των διαστάσεων, και εις την μετέπειτα διδασκαλίαν πάντοτε, οσάκις παρουσιάζεται ευκαιρία, να θεωρώνται αι διαστάσεις των εκάστοτε παρουσιαζόμενων ποσοτήτων.
Επίσης να τονίζεται εις την στερεομετρίαν το θεώρημα του Euler (το πλήθος των κορυφών οιουδήποτε πολυέδρου ηυξημένον κατά το πλήθος των εδρών αυτού ισούται προς το πλήθος των ακμών του ηυξημένον κατά τον αριθμόν δύο), του οποίου η απόδειξις είναι απλουστάτη.
Είναι απαραίτητον η ύλη να διδάσκηται ούτως ώστε ουδέποτε να διαφεύγει η ουσία των πραγμάτων, την οποίαν δυστυχώς πολλάκις καταπνίγουν οι τύποι και η ξηρά θεωρία.
Φρονώ ότι είναι απαραίτητος η άσκησις του μαθητού κατά την διδασκαλίαν των Μαθηματικών εις το μάθημα της Γεωμετρίας και της Αλγέβρας. Η απομνημόνευσις και η γνώσις της ξηράς θεωρίας δεν κινεί το ενδιαφέρον του μαθητού, δεν ικανοποιεί αυτόν, αλλά τον κουράζει ταχύτερον και περισσότερον. Θα ηδύνατο νομίζω ο καθηγητής να ετοιμάζει συχνά τον μαθητήν δια την διδασκαλίαν ενός κεφαλαίου της Γεωμετρίας ή μιας περιοχής αυτής, επί παραδείγματι δια της λύσεως υπό των μαθητών ικανών προβλημάτων σχετικών προς το εν λόγω κεφάλαιον και εν ανάγκη με την δέσουσα βοήθειαν ή την συνεργασίαν του καθηγητού. Αλλά δεν πιστεύω ότι δύναται να γίνεται διδασκαλία των Μαθηματικών ωφέλιμος και αποτελεσματική άνευ της λύσεως αφθόνων ασκήσεων και καταλλήλων προβλημάτων υπό των μαθητών. Εάν δε ο χρόνος δια την διδασκαλίαν των Μαθηματικών θεωρείται όχι επαρκής ίνα ασκώνται οι μαθηταί επαρκώς, θα ήτο σκοπιμότερον να ελαττωθεί η προς διδασκαλίαν προοριζομένη ύλη ίνα διδάσκωνται ολιγότερα μεν θεωρήματα και μικροτέρας εκτάσεως θεωρία, αλλά αρκεταί ασκήσεις. Έχω αποκομίσει την εντύπωσιν ότι εν Ελλάδι παραμελείται η άσκησις των μαθητών εις το να λογαριάζουν από μνήμης και να δύνανται να εκτελώσι απλάς αριθμητικάς πράξεις από μνήμης. Και τούτο είναι νομίζω εν ουσιώδες ελάττωμα της διδασκαλίας. Πρέπει να εξασκηθή ο μαθητής από των τάξεων του Ελληνικού σχολείου, όπου διδάσκεται την Αριθμητικήν, ίνα λογαριάζη από μνήμης και όχι να γράφη απλάς αφαιρέσεις ή πολλαπλασιασμούς επί παραδείγματι.
Επειδή ανέφερα την Αριθμητικήν, ευρίσκω την ευκαιρίαν να σας γνωρίσω ότι, ως επαρατήρησα, το πρόγραμμα των Μαθηματικών είναι βεβαρυμένον πολύ με το μάθημα της θεωρητικής Αριθμητικής. Βεβαίως η Αριθμητική είνε αφετηρία των μαθηματικών επιστημών· δια της θεωρητικής Αριθμητικής, εν ευρυτέρα σημασία πλέον, ανεπτύχθη και η θεωρία των συναρτήσεων, είναι δε η Αριθμητική η ηγέτις των μαθηματικών κλάδων.
Αλλά τούτο πολύ διαφέρει από το κατά πόσον πρέπει το μάθημα της θεωρητικής Αριθμητικής να διδάσκηται εις τα Γυμνάσια. Διότι παν ό,τι εννοεί ο μαθηματικός δεν είναι εύκολον ούτε δυνατόν να εννοήσει ο μαθητής του Γυμνασίου, δεν είναι δε και σκόπιμος η διδασκλία του μαθήματος τόσο ευρέως, αφού εκ των μαθητών του Γυμνασίου ελάχιστοι ίσως θα σπουδάσουν Μαθηματικά, αλλα και αυτοί θα μορφωθούν εις το Πανεπιστήμιον ειδικώς. Δια τούτο είμαι της γνώμης ότι πρέπει να περιορισθή η ύλη, ήτις διδάσκεται από την θεωρητικήν Αριθμητικήν εις τα λίγα απαραιτήτως αναγκαία μέρη αυτής, να ενισχυθή δε ούτω η διδασκαλία των μαθηματικών της Γεωμετρίας και της Αλγέβρας αφού και η ύλη αυτών περιορίσθη συμμέτρως, ώστε να λύωνται ικαναί ασκήσεις υπό των μαθητών.
Τέλος ευρίσκω λίαν βεβαρυμένον το πρόγραμμα των Μαθηματικών δια τα Λύκεια. Και αυτά δεν πρόκειται να παρασκευάσουν μαθηματικούς, νομίζω. Αλλά κυρίως πρόκειται εκεί να φοιτήσουν οι μέλλοντες να επιδοθώσιν εις επαγγέλματα η εις επιστήμας συνδεομένας στενώς με τας θετικάς επιστήμας. Δια τούτο η ύλη των Μαθηματικών δια τα σχολεία αυτά νομίζω ότι πρέπει να περίχει πολλάς εφαρμογάς αίτινες ευρίσκονται εγγύτερον με τον βίον του ανθρώπου και προς το μέλλον επάγγελμα του μαθητού των σχολείων αυτών. Ούτω π.χ., ενώ θα ισχυρίζετο κανείς ότι εις τα Λύκεια θα διδάσκηται η θεωρητική Αριθμητική ευρύτερον, εγώ νομίζω ότι εκεί ακριβώς θα ηδύντο να λείψη εντελώς η διδασκαλία του μαθήματος τούτου ως ελάχιστα σκόπιμος.
Ταύτα πρέπει να έχωμεν υπόψη ημών, ώστε αν όντως τα προγράμματα είναι επιβαρυμένα εις βαθμόν ώστε ν’ αποκλείηται η συμφώνως προς το ως άνω πνεύμα διδασκαλία, προτείνω όπως η Εταιρεία μας καταβάλη πάσαν παρά τοις αρμοδίοις προσπάθειαν προς απλοποίησιν αυτών.
Εν Κηφισιά, Μάιος 1924
Πηγή: http://www.pialfa.gr/?p=4950 (23 Μαρτίου)
Χαράλαμπος Κ. Φιλιππίδης
Μαθηματικός
